解析解と数値解 - 生物物理計算化学者の雛

数学的な問題の解は大きく「解析解」と「数値解」に分けられます。

例えば「サイコロを２個振って両方とも１が出る確率を求めよ」という問題を考えます。

解析解は理論的・代数的に算出できる解であり、確率の知識があれば「１が出る確率は1/6であり、２回とも１が出る確率は(1/6)^2 = 1/36」と厳密な解をえられます。

一方の数値解は数値計算によって解を得るアプローチです。
この問題であれば以下のＲプログラムによる数値シミュレーション（乱数によるモンテカルロ法）を行うことで、厳密解1/36に近い値が得られます。

simulateTwoDice <- function(sampleNum){
  count     <- 0  # (1,1)（２個のサイコロが両方とも１）が出た回数を記憶

  for (i in 1:sampleNum) {
    # サイコロを２個分の乱数を生成
    dice <- sample(c(1,2,3,4,5,6), 2, replace=TRUE,
                   prob=c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6))
    # (1,1)だったらcountに１を足す
    if(dice[1] == 1 && dice[2] == 1){
      count <- count + 1
    } 
  }
  cat(sprintf("試行回数 %d回、(1,1)の回数 %d回、(1,1)の確率 %f%%\n", 
              sampleNum, count, count/sampleNum * 100))
}

1/36*100  # 厳密解を％表示
simulateTwoDice(10)
simulateTwoDice(100)
simulateTwoDice(1000)
simulateTwoDice(10000)
simulateTwoDice(100000)
simulateTwoDice(1000000)
simulateTwoDice(10000000)

実行結果は以下の通りです

> 1/36*100  # 厳密解を％表示
[1] 2.777778
> simulateTwoDice(10)　
試行回数 10回、(1,1)の回数 0回、(1,1)の確率 0.000000%
> simulateTwoDice(100)
試行回数 100回、(1,1)の回数 2回、(1,1)の確率 2.000000%
> simulateTwoDice(1000)
試行回数 1000回、(1,1)の回数 17回、(1,1)の確率 1.700000%
> simulateTwoDice(10000)
試行回数 10000回、(1,1)の回数 266回、(1,1)の確率 2.660000%
> simulateTwoDice(100000)
試行回数 100000回、(1,1)の回数 2750回、(1,1)の確率 2.750000%
> simulateTwoDice(1000000)
試行回数 1000000回、(1,1)の回数 27817回、(1,1)の確率 2.781700%
> simulateTwoDice(10000000)
試行回数 10000000回、(1,1)の回数 278671回、(1,1)の確率 2.786710%

解析解は厳密な結果を与えるが、常に得られるとは限らない

解析解は厳密な結果を与えます。（先ほどの問題であれば1/36という真の解）

ただし解析解を得ることは難しい、あるいは不可能であるケースが多く、その場合は数値解に頼るほかありません。
以下に例を挙げます。

互いに相互作用する３点以上の物体の運動は（例外はあるが一般に）解析的に解くことができない
- 多数原子の運動を追跡する分子動力学法（MD法）は数値解析により原子の運動を追跡する
- 多数電子・原子核間の相互作用を解く分子軌道法（MO法）は数値解析により電子状態を算出する
  - 水素原子（原子核１個＋電子１個）は２体問題なので解析解（厳密解）が得られる